Tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu yếu cho bài toán tối ưu tập có chứa tham số

Trần Anh Thư Phạm
Liên lạc chính: Trần Anh Thư Phạm (thupta9@fpt.edu.vn)

Main Article Content

Tóm tắt

Mục tiêu nhằm nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu tập bị nhiễu trong không gian định chuẩn. Các khái niệm về tính nửa liên tục, liên tục và các khái niệm liên quan đến tính lồi của một ánh xạ đa trị như tính ?-lồi theo đoạn, tính ?-tựa lồi tự nhiên theo đoạn, tính ?-lồi theo cung, tính ?-tựa lồi tự nhiên theo cung được thảo luận. Tiếp theo các hàm vô hướng mở rộng của hàm Gerterwitz và các tính chất của chúng được xem xét, trong đó tính liên tục đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu. Dựa vào các tính chất của các hàm vô hướng trên, một biểu diễn vô hướng của nghiệm cho bài toán tối ưu tập được xây dựng. Cuối cùng, sử dụng các tính chất của hàm vô hướng này cùng với tính compact của tập ràng buộc và các giả thiết về tính ?-liên tục cũng như tính ?-tựa lồi tự nhiên theo cung trên hàm mục tiêu, chúng tôi đã thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán đã nêu ra.

Từ khóa: Bài toán tối ưu tập , biểu diễn vô hướng , liên tục Hausdorff , nghiệm xấp xỉ , vô hướng hóa

Abstract

The objective was to study the continuity of the efficient solution maps of perturbed set optimization problems in normed spaces. The semicontinuous, continuous concepts and concepts related to the convexity of a set-valued map such as segmented ?-convexity, naturally segmented ?-quasiconvexity, arcwise connected ?-convexity, naturally arcwise connected ?-quasiconvexity were reviewed. Next, we consider generalized scalarization functions of Gerterwitz function and their properties, in which in which the continuity played an important role in our analysis. Based on the properties of the above scalarization functions, a scalar representations of the weakly efficient solution for the set optimization problem is built. Finally, employing properties of the nonlinear scalarization function with the compactness of constraining set and the ?-continuity as well as naturally arcwise connected ?-quasiconvexity assumptions on the objective map, we established sufficient conditions for continuity of the efficient solution maps to problems

Từ khóa: Approximate solution , Hausdorff continuity , nonlinear scalarization , scalar representation , set optimization problem

Tài liệu tham khảo

Anh L.Q., Duoc P.T., Tam T.N., 2020. On the stability of approximate solutions to set-valued equilibrium problems. Optimization, 69, 1583–1599.

Anh L.Q., Anh N.T.Anh, Duoc P.T., Khanh L.T.V., Thu P.T.A., 2022. The connectedness of weakly and strongly efficient solution sets of nonconvex vector equilibrium problems. Applied Set-Valued Analysis and Optimization, 4(1), 109–127.

Anh, L.Q., Duoc, P.T., Duong, T.T.T., 2023. A new scalarization approach and applications in set optimization. Optimization, 72(4), 1093–1117.

Avriel M., Zang I., 1980. Generalized arcwise-connected functions and characterizations of local-global minimum properties. Journal of Optimization Theory and Applications, 32(4), 407–425.

Gopfert A., Riahi H., Tammer C., Zalinescu C., 2003. Variational methods in partially ordered spaces. Springer, Berlin, pp. 24–26.

Gutiérrez C., Miglierina E., Molho E., Novo V., 2016. Convergence of solutions of a set optimization problem in the image space. Journal of Optimization Theory and Applications, 170(2), 358–371.

Gutiérrez C., Jiménez B., Novo V., 2015. Nonlinear scalarizations of set optimization problems with set orderings. In Set Optimization and Applications – The State of the Art: From Set Relations to Set-Valued Risk Measures, pp. 43–63. Springer, Berlin Heidelberg.

Han Y., 2020. Connectedness of weak minimal solution set for set optimization problems. Operations Research Letters, 48(6), 820–826.

Han Y., 2022. Connectedness of the approximate solution sets for set optimization problems. Optimization, 71(16), 4819–4834.

Han Y., Wang S.H., Huang N.J., 2019. Arcwise connectedness of the solution sets for set optimization problems. Operations Research Letters, 47(3), 168–172.

Huerga L., Jiménez B., Novo V., Vílchez A., 2021. Six set scalarizations based on the oriented distance: continuity, convexity and application to convex set optimization. Mathematical Methods of Operations Research, 93(2), 413–436.

Jahn J., Ha T.X.D., 2011. New order relations in set optimization. Journal of Optimization Theory and Applications, 148(2), 209–236.

Jiménez B., Novo V., Vílchez A., 2020. Six set scalarizations based on the oriented distance: properties and application to set optimization. Optimization, 69(3), 437–470.

Karuna C., Lalitha, 2019. External and internal stability in set optimization. Optimization, 68(4), 833–852.

Khan A.A., Tammer C., Zalinescu C., 2016. Set-valued optimization. Springer, Berlin, pp. 369–397.

KhoshkhabarAmiranloo S., 2018. Stability of minimal solutions to parametric set optimization problems. Applicable Analysis, 97(14), 2510–2522.

KhoshkhabarAmiranloo S., 2022. Approximate weak minimal solutions of set-valued optimization problems. Journal of the Operations Research Society of China, pp. 1–20.

KhoshkhabarAmiranloo S., Khorram E., 2016. Scalar characterizations of cone-continuous set-valued maps. Applicable Analysis, 95(12), 2750–2765.

KhoshkhabarAmiranloo S., Khorram E., Soleimani-Damaneh M., 2017. Nonlinear scalarization functions and polar cone in set optimization. Optimization Letters, 11(3), 521–535.

Kreps D.M., 1979. A representation theorem for preference for flexibility. Econometrica, 47(3), 565–577.

Kuroiwa D., 1997. Some Criteria in Set-Valued Optimization. Nonlinear Analysis and Convex Analysis, 985, 171–176.

Liu P.P., Wei H.Z., Chen C.R., Li S.J., 2021. Continuity of solutions for parametric set optimization problems via scalarization methods. Journal of the Operations Research Society of China, 9(1), 79–97.

Luc D.T., 1989. Theory of vector optimization. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 319, Springer, Berlin.

Lohne A., 2011. Vector optimization with infimum and supremum. Springer, Berlin, pp. 130–137.

Mao J.Y., Wang S.H., Han Y., 2019. The stability of the solution sets for set optimization problems via improvement sets. Optimization, 68(11), 2171–2193.

Sun Y., 2020. Continuity of solution mappings for parametric set optimization problems under partial order relations. Pure Mathematics, 10(11), 631–644.

Wenyan H., Guolin Y., 2022. Scalarization and semicontinuity of approximate solutions to set optimization problems. Applied Set-Valued Analysis and Optimization, 4, 239–250.

Xu Y., Li S., 2014. Continuity of the solution set mappings to a parametric set optimization problem. Optimization Letters, 8(8), 2315–2327.

Xu Y., Li S., 2016. On the solution continuity of parametric set optimization problems. Mathematical Methods of Operations Research, 84(1), 223–237.